Integral Tentu

 Luas Bidang Datar

Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x pada [a,b] seperti pada gambar berikut:

Contoh 1.

Hitunglah luas daerah R, yang terletak di bawah kurva

sumbu x, garis x=1 dan garis x=3.

Jawab:

Contoh 2.

Carilah luas di bawah kurva

di antara x=1 dan x=2

Jawab:

Luas diantara Dua Kurva

Misalkan daerah R dibatasi oleh dua kurva y=f(x), y=g(x) pada[a,b] seperti pada gambar berikut:

Contoh 1.

Hitunglah luas daerah R, terletak

dan x+y = 4

Jawab:

Untuk x+y=4 maka y=4-x

Maka sketsa grafik R dari kedua tabel tersebut adalah:

Sehingga titik potong kedua kurva diperoleh:

Menghitung A(R)

Maka:

Integral Tak Wajar

 Integral tak wajar yaitu salah satu dari batas pengintegralannya tak hingga. Secara umum, bentuk integral tak wajar adalah sebagai berikut:

1. Integral Tak Wajar, Batas Pengintegralan Tak Hingga

Definisi:

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, namun jika sebaliknya, maka disebut divergen.

Agar lebih memahaminya, berikut beberapa contohnya:

Integral Fungsi Rasional dan Pecahan Parsial

Fungsi rasional diekspresikan sebagai berikut:

dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial.

Untuk menghitung integral fungsi rasional, perlu dilakukan dekomposisi pecahan-parsial dari fungsi rasional tersebut.

Metode pecahan parsial adalah suatu teknik aljabar dimana R(x) didekomposisi menjadi jumlahan suku-suku:

dimana p(x) suatu polinomial dan Fi(x) pecahan-parsial berbentuk (faktor linear)

atau (faktor kuadratik)

A, B, C, a, b, c adalah konstanta-konstanta.

Contoh:

1. Hitung

Dekomposisi integrand:

Suku ke-2 adalah fungsi rasional yang dapat didekomposisi pecahan-parsial:

Konstanta A, B dan C diperoleh dengan mengalikan kedua sisi dengan fungsi penyebut

Diperoleh A=1, B = -1, C=1. Jadi

Jadi fungsi rasional semula didekomposisi menjadi

Sehingga diperoleh:

Integral Fungsi Rasional

Berdasarkan definisi, fungsi rasional adalah suatu dari hasil bagi dua fungsi suku banyak atau polinomial. Bentuknya:

dimana P(x) dan Q(x) merupakan fungsi suku banyak.

Fungsi rasional dibedakan menjadi dua yaitu:

1. Fungsi rasional sejati : Jika derajat atau perangkat polinom pembilang [P(x)] lebih rendah daripada derajat polinom penyebut Q(x). Cara penyelesaiannya yaitu dengan cara pembagian biasa.

2. Fungsi rasional tidak sejati : Jika derajat atau pangkat polinom pembilang [P(x)] lebih besar daripada derajat polinom penyebut Q(x). Cara penyelesaiannya yaitu dengan cara mengubah terlebih dahulu bentuknya menjadi fungsi rasional sejati dengan membaagi fungsi tersebut dengan penyebutnya.

Fungsi rasional F dapat ditulis dalam bentuk:

dengan H(x) menyatakan hasil bagi dan S(x) sisa pembaginya yang derajatnya lebih kecil dari derajat Q(x).

SEMUA FAKTOR DARI Q(x) LINEAR DAN BERBEDA

Q(x) = n, maka

dengan

semuanya berbeda.

Langkah penyelesaian:

1. Tulislah fungsi F(x) menjadi bentuk pecahan bagian dari faktor linear yang berbentuk:

2. Tentukan nilai

dengan cara menyamakan penyebut sebelah diruas kanan dan sifat kesamaan dua suku banyak.

3. Berdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada integran, maka hasil integralnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh masing-masing konstanta.

Contoh soal:

1. Tentukan hasil integral tak tentu

fungsi rasional tidak sejati?

Jawab:

sehingga diperoleh: